Ecuación matemática de la mujer

Cuerno de Gabriel

El Cuerno de Gabriel o Trompeta de Torricelli es una figura geométrica ideada por Evangelista Torricelli que tiene la característica de poseer una superficie infinita pero un volumen finito.

Historia

En el momento de su descubrimiento, fue considerado una paradoja. Esta paradoja aparente ha sido descrita de modo informal señalando que sería necesaria una cantidad infinita de pintura para cubrir la superficie interior, mientras que sería posible rellenar toda la figura con una cantidad finita de pintura y así cubrir esa superficie.

La solución de la paradoja es que un área infinita requiere una cantidad infinita de pintura si la capa de pintura tiene un grosor constante. Esto no se cumple en el interior del cuerno, ya que la mayor parte de la longitud de la figura no es accesible a la pintura, especialmente cuando su diámetro es menor que el de una molécula de pintura. Si se considera una pintura sin grosor, sería necesaria una cantidad infinita de tiempo para que ésta llegase hasta el «final» del cuerno.

En otras palabras, llegaría un momento en el que el espesor de la trompeta sería más pequeño que una molécula de pintura con lo que, digamos, una gota de pintura cubriría el resto de la superficie de la trompeta (aunque fuera infinito). Así, que la superficie de la trompeta sea infinita no implicaría que la cantidad de pintura tenga que ser infinita.

Pero la paradoja también tiene solución incluso si suponemos una materia divisible indefinidamente (o sea, si no existen los átomos). Si el grosor de la capa de pintura es variable y disminuye indefinidamente (tendiendo a cero), la cantidad de pintura se calcularía por una integral impropia que podría ser convergente. En este caso, el espesor de la capa de pintura forzosamente debería ser igual o menor al valor de y, lo que hace que la integral impropia, en este caso, sea convergente, es decir, se necesita una cantidad finita de pintura.

Fuente

Paradoja del círculo

A medida que el diámetro de un círculo aumenta de tamaño, la curvatura de una longitud dada de su circunsferencia disminuye. Un círculo tan grande como el planeta tierra, parece no tener curvatura, aparentando ser una línea recta.

Un círculo de diámetro infinito, tendría una curva tan prolongada que sería cero. Osea, el círculo sería una línea recta en cualquier segmento de su circunsferencia.

Fuente

Bandas de Mach

Las bandas de Mach son una ilusión óptica que parte de una imagen con dos bandas, una iluminada y la otra oscura, separadas por una estrecha banda central coloreada con un gradiente de iluminado a oscuro. El ojo humano percibe dos estrechas bandas de diferente luminosidad, que no están presentes en la imagen verdadera, a cada lado del gradiente. Esta ilusión se denomina así debido a Ernst Mach.

Paradoja del cuadrado perdido

Les comparto un desafío, es la paradoja del cuadrado perdido. A buscar una hoja, lápiz, regla, transportador y tijera a ver si lo resuelven.

La paradoja del cuadrado perdido es una ilusión óptica usada en clases de matemáticas, para ayudar a los estudiantes a razonar sobre las figuras geométricas. Está compuesta de dos figuras en forma de triángulo de base 13 y altura 5, formadas por las mismas piezas, donde uno aparenta tener un "agujero" de 1×1 en él.

La clave de la paradoja está en el hecho de que ninguno de los triángulos tiene el mismo área que sus piezas componentes. El área de cada pieza es:

• Pieza roja: 12 cuadrados.
• Pieza verde: 8 cuadrados.
• Pieza amarilla: 7 cuadrados.
• Pieza azul: 5 cuadrados.

Las cuatro figuras (amarilla, roja, azul y verde) ocupan un total de 32 cuadrados, pero el triángulo tiene 13 de base por 5 de altura, lo que supone un área de 32,5 cuadrados.

La paradoja tiene una explicación simple: la figura presentada como un triángulo no lo es en realidad, debido a que en realidad tiene cuatro lados, y no los tres propios del triángulo. La "hipotenusa" no está formada por una recta, sino por dos con pendientes ligeramente distintas. Si comparamos los ángulos de inclinación de la hipotenusa respecto de la base de los triángulos rojo y azul vemos que son distintos. En el triángulo rojo el ángulo es 20.55°, mientras que en el azul es 21.8°. Así, la suma de los tres ángulos en la figura de arriba es menor que 180°, mientras que en la figura de abajo la suma de los tres ángulos es mayor que 180°.

Curva cerrada de tipo tiempo

En la variedad Lorentziana de la geometría diferencial, se llama curva cerrada de tipo tiempo o curva temporal cerrada (closed timelike curve, o abreviadamente CTC, en inglés) a la línea de universo de una partícula material que está cerrada en el espacio-tiempo, es decir, que es susceptible de regresar al mismo estado del que partió en el tiempo.

Esta posibilidad fue planteada por Willem Jacob van Stockum en 1937 y por Kurt Gödel en 1949. De probarse la existencia de la CTC, el hecho podría implicar al menos la posibilidad teórica de construir una máquina del tiempo, así como una reformulación de la paradoja del abuelo.

La CTC está relacionada con la deformación gravitatoria y con el cilindro de Tipler, (en referencia al físico Frank J. Tipler), capaces teóricamente de posibilitar el viaje en el tiempo, todo ello contemplado por la relatividad general.

Consecuencias

Un rasgo de las curvas cerradas de tipo tiempo es que abren la posibilidad de una línea de universo que no esté conectada a tiempos anteriores, y así de la existencia de eventos que puedan no ser debidos a una causa anterior a ellos mismos. Ordinariamente, la causalidad exige que cada evento en el espacio-tiempo sea producido por su causa, en todo marco de referencia en reposo. Este principio es crítico en el determinismo, el cual, en el lenguaje de la relatividad general, establece que a partir de un conocimiento completo del universo en una superficie de Cauchy de tipo espacio es posible determinar o “predecir” cualquier estado posterior del espacio-tiempo.

Sin embargo, en una CTC, la causalidad se rompe porque un evento puede ser simultáneo con su causa, de modo que el evento en realidad se convierte en su propia causa. Basados sólo en el conocimiento del pasado, es imposible determinar si algo existe en la CTC que pueda interferir con otros objetos en el espacio-tiempo. Una curva cerrada de tipo tiempo, por consiguiente, resulta en un horizonte de Cauchy, y una región de espacio-tiempo que no puede ser predicha a partir de un conocimiento perfecto de algún momento pasado.

La existencia de CTC impone restricciones a los estados de campos de materia-energía que permite la física. Si propagamos la configuración de un campo a lo largo de una familia de líneas de universo cerradas de tipo tiempo, debemos obtener un estado que es idéntico al original. Este es el enfoque que ha sido propuesto por algunos científicos para descartar la existencia de curvas cerradas de tipo tiempo.

Paradoja del ahorro

La paradoja del ahorro explica que si en una recesión todo los habitantes tratan de ahorrar más, es decir dedicar al ahorro un porcentaje mayor de sus rentas, la demanda agregada caerá y el ahorro total de la población será más bajo. Esto se debe a que el ingreso total de la población es igual a la suma de los ingresos de sus individuos. Dado que el ingreso personal puede ser destinado al consumo o al ahorro, y que el consumo forma una parte esencial de la demanda agregada y del ingreso mundial, si aumenta el porcentaje de ahorro, lógicamente el consumo disminuirá, por lo que disminuirá también con él la demanda agregada y el ingreso mundial, lo cual hará que caiga el ingreso personal, y así sucesivamente.

Paradoja EPR

La paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen, denominada «Paradoja EPR», consiste en un experimento mental propuesto por Albert Einstein, Boris Podolsky y Nathan Rosen en 1935.

A Einstein (y a muchos otros científicos), la idea del entrelazamiento cuántico le resultaba extremadamente perturbadora. Esta particular característica de la mecánica cuántica permite preparar estados de dos o más partículas en los cuales es imposible obtener información útil sobre el estado total del sistema haciendo sólo mediciones sobre una de las partículas. Por otro lado, en un estado entrelazado, manipulando una de las partículas, se puede modificar el estado total. Es decir, operando sre una de las partículas se puede modificar el estado de la otra a distancia de manera instantánea. Esto habla de una correlación entre las dos partículas que no tiene contrapartida en el mundo de nuestras experiencias cotidianas.

El experimento planteado por EPR consiste en dos partículas que interactuaron en el pasado y que quedan en un estado entrelazado. Dos observadores reciben cada una de las partículas. Si un observador mide el momento de una de ellas, sabe cuál es el momento de la otra. Si mide la posición, gracias al entrelazamiento cuántico y al principio de incertidumbre, puede saber la posición de la otra partícula de forma instantánea, lo que contradice el sentido común.

La paradoja EPR está en contradicción con la teoría de la relatividad, ya que se transmite información de forma instantánea entre las dos partículas. De acuerdo a EPR, esta teoría predice un fenómeno (el de la acción a distancia instantánea) pero no permite hacer predicciones deterministas sobre él; por lo tanto, la mecánica cuántica es una teoría incompleta.

Esta paradoja (aunque, en realidad, es más una crítica que una paradoja), critica dos conceptos cruciales: la no localidad de la mecánica cuántica (es decir, la posibilidad de acción a distancia) y el problema de la medición. En la Física clásica, medir un sistema, es poner de manifiesto propiedades que se encontraban presentes en el mismo, es decir, que es una operación determinista. En Mecánica cuántica, constituye un error asumir esto último. El sistema va a cambiar de forma incontrolable durante el proceso de medición, y solamente podemos calcular las probabilidades de obtener un resultado u otro.

Hasta el año 1964, este debate perteneció al dominio de la filosofía de la ciencia. En ese momento, John Bell propuso una forma matemática para poder verificar la paradoja EPR. Bell logró deducir unas desigualdades asumiendo que el proceso de medición en Mecánica cuántica obedece leyes deterministas, y asumiendo también localidad, es decir, teniendo en cuenta las críticas de EPR. Si Einstein tenía razón, las desigualdades de Bell son ciertas y la teoría cuántica es incompleta. Si la teoría cuántica es completa, estas desigualdades serán violadas.

Desde 1976 en adelante, se han llevado a cabo numerosos experimentos y absolutamente todos ellos han arrojado como resultado una violación de las desigualdades de Bell. Esto implica un triunfo para la teoría cuántica, que hasta ahora ha demostrado un grado altísimo de precisión en la descripción del mundo microscópico, incluso a pesar de sus consabidas predicciones reñidas con el sentido común y la experiencia cotidiana.

En la actualidad, se han realizado numerosos experimentos basados en esta paradoja y popularizados en ocasiones bajo el nombre de teletransporte cuántico. Este nombre llama a engaño, ya que el efecto producido no es un teletransporte de partículas al estilo de la ciencia ficción sino la transmisión de información del estado cuántico entre partículas entrelazadas (entangled particles). La comprensión de esta paradoja ha permitido profundizar en la interpretación de algunos de los aspectos menos intuitivos de la mecánica cuántica. Esta área continúa en desarrollo con la planificación y ejecución de nuevos experimentos.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_EPR"

Paradoja de Bell

La paradoja de Bell es un problema clásico de relatividad especial (La famosa teoría de la relatividad de Albert Einstein) , que fue planteado originalmente en el bar del CERN y que John Stewart Bell describe en el artículo Cómo enseñar la relatividad especial. El planteamiento simple del problema es el siguiente:

Supongamos la existencia de tres pequeñas naves, a las que llamaremos A, B, y C, que se desplazan libremente por una región del espacio alejada de la influencia de cualquier otra materia, sin ningún tipo de rotación y sin ningún movimiento relativo, con A equidistante a B y C. Tras la recepción de una señal de A, los motores de B y C aceleran con suavidad. Si las naves son idénticas y tienen los mismos programas de aceleración, entonces el observador en A advertirá que las naves B y C tendrán la misma velocidad en todo momento y que la distancia entre ellas permanecerá constante. Suponiendo que hay un hilo frágil atado a salientes de B y C, cuya longitud es apenas la necesaria para cubrir la distancia L requerida, ¿se romperá el hilo en algún momento?

Según Bell sí. La manera obvia de responder es pensar en que el hilo estará sometido a la contracción de Lorentz y, por tanto, no será capaz de cubrir la distancia necesaria, con el tiempo y el aumento de velocidad. Pero la respuesta no deja claro quién ve la contracción, es decir, qué sistema inercial se debe tener en cuenta. La existencia de aceleración pone difícil la elección.

Hotel infinito (Metáfora matemática)

Otra paradoja interesante, y muuuuy curiosa, aunque mas que paradoja es una metáfora matemática...

Hotel Infinito es una metáfora inventada por el matemático alemán David Hilbert, para explicar las paradojas relacionadas con el infinito (más exactamente con los cardinales transfinitos) descubiertas por el también matemático Georg Cantor, de una manera sencilla.
Esta metáfora describe por medio de un hotel de habitaciones infinitas, cuatro paradojas de las encontradas por Georg Cantor. Numerosas personas han creado historias completas sobre la metáfora de David Hilbert

El hotel más grande del mundo

Dos grandes hoteleros que querían construir el hotel más grande del mundo se reunieron a dialogar sobre el asunto y comenzaron por el primer y más obvio tema a discutir: cuántas habitaciones tendría.
"—¿Qué te parece si construimos un hotel con 1000 habitaciones?
—No, porque si alguien construyera uno de 2000 habitaciones, nuestro hotel ya no sería tan grande. Mejor hagámoslo de 10 000.
—Pero podría ser que alguien construyera uno de 20 000 y volveríamos a quedarnos con un hotel pequeño. Construyamos un hotel con 1 000 000 de habitaciones, ése sería un hotel grande.
—Y qué tal si alguién construyera uno con..."

Como siempre podría llegar a haber un hotel más grande, llegaron a la conclusión de que era necesario hacer un hotel con habitaciones infinitas de manera que ningún otro hotel del mundo pudiera superar su tamaño.

Infinito más uno

Sin embargo en un hotel de infinitas habitaciones no todo es color de rosa, tan pronto se abrieron las puertas de este hotel la gente comenzó a abarrotarlo y pronto se encontraron con que el hotel de habitaciones infinitas se encontraba lleno de infinitos huéspedes. En este momento surgió la primera paradoja, así que se tomó como medida que los huéspedes siempre tendrían habitación asegurada pero con el acuerdo previo de que tendrían que cambiar de habitación cada vez que se les pidiera.

Fue entonces cuando llegó un hombre al hotel pero éste se encontraba lleno, por supuesto esto no preocupó al cliente pues en el Hotel Infinito se aseguraba que todos tendrían habitación, el hombre pidió su habitación y el recepcionista, consciente de que no habría ningún problema, tomó un micrófono por el que avisó a todos los huéspedes que por favor revisaran el número de su habitación, le sumaran uno y se cambiaran a ese número de habitación, de esta manera el nuevo huésped pudo dormir tranquilamente en la habitación número 1. Pero, ¿qué pasó entonces con el huésped que se encontraba en la última habitación? Sencillamente no hay última habitación.

Dos infinitos

Estando el hotel lleno de infinitos huéspedes, llegó un representante de una agencia de viajes con el corazón en la mano, su problema era que tenía una excursión de infinitos turistas que necesitarían hospedarse esa noche en el hotel. Se trataba por lo tanto de hacer sitio a infinitos huéspedes en un hotel con infinitas habitaciones, todas ellas ocupadas en aquellos momentos. Pero el recepcionista no tuvo ningún problema en aceptar a los nuevos turistas. Cogió el microfono y pidió a todos los huéspedes que se mudaran a la habitación correspondiente al resultado de multiplicar por 2 el número de su habitación actual. De esa forma todos los huéspedes se mudaron a una habitación par, y todas las habitaciones impares quedaron libres. Como hay infinitos números impares, los infinitos turistas pudieron alojarse sin más problema.

Infinito número de infinitos

Estando el hotel lleno con infinitos huéspedes, llegó otro representante de la agencia de viajes aún más preocupado que el primero y avisó al primero el gran problema que había ocurrido, ahora la agencia tenía un infinito número de excursiones con un infinito número de turistas cada una. "¡Qué enorme problema se presenta ahora!", pensaban los representantes de la agencia de viajes, ¿cómo podrían hospedar a un número infinito de infinitos turistas?
El recepcionista permaneció inmutable, por lo cual tomó tranquilamente el micrófono y se comunicó solamente con las habitaciones cuyo número fuera primo o alguna potencia de éstos, les pidió que elevaran el número 2 al número de la habitación (n) en la que se encontraban (2n) y se cambiaran a esa habitación.
Entonces asignó a cada una de las excursiones un número primo (mayor de 2), a cada uno de los turistas de cada una de las excursiones un número impar, de manera que la habitación de cada uno de los turistas, se calculaba tomando el número primo de su excursión (p) y elevarlo al número que les tocó dentro de su excursión (t) lo que da pt.
Existiendo un número infinito de números primos y un número infinito de números impares, fácilmente se logró hospedar a un número infinito de infinitos huéspedes dentro de un hotel que sólo tiene un número infinito de habitaciones.

Paradoja del mentiroso

La paradoja del mentiroso es un concepto relacionado con la filosofía y la lógica, que se refiere a afirmaciones paradójicas que se autocontradicen.
Las dos versiones más conocidas son: “Estoy mintiendo” y “Esta oración es falsa”.

Comentario
Esta paradoja muestra que es posible construir oraciones perfectamente correctas según las reglas gramaticales y semánticas pero que pueden no tener un valor de verdad según la lógica tradicional.

Consideremos una de las formas más simples de esta paradoja: “Esta oración es falsa”:
Si suponemos que esa afirmación es verdadera, entonces lo que dice es verdadero. Ya que la oración afirma que es falsa, entonces debe ser falsa. Por tanto, si suponemos que es verdadera, alcanzamos una contradicción.

Si suponemos que la oración es falsa, entonces lo que afirma debe ser falso. Ya que afirma que la oración es falsa, entonces la oración debe ser verdadera. De nuevo, si suponemos que es falsa, alcanzamos una contradicción.

La primera versión conocida

La versión más antigua de la paradoja del mentiroso se atribuye al filósofo griego Eubulides de Mileto, que vivió en el siglo IV a. C. Supuestamente Eubulides dijo:
Un hombre afirma que está mintiendo. ¿Lo que dice es verdadero o falso?

Una versión doble

Es posible construir esta paradoja de modo que una afirmación no se refiera directamente a su propio valor de verdad. Existen de este modo varias versiones equivalentes:
La más simple: “La oración posterior es cierta” y “La oración anterior es falsa”.
Una tarjeta, en una de cuyas caras aparece: “Lo que está escrito en la otra cara es cierto” y en la otra: “Lo que está escrito en la otra cara es falso”.

Un libro, que en la página 23 tiene escrito “Lo que está escrito en la página 24 es cierto” y en la página 24: “Lo que está escrito en la página 23 es falso”.

En realidad se trata de una cuestión de autorreferencia. Ejemplo clásico es el del libro en cuya nota final afirma "todo lo escrito en este libro es falso". Lo cual deja abierta la posibilidad de que aquella última afirmación también lo sea, y en ese caso el resto sería verdadero o, por el contrario, si aquella afirmación fuera verdadera el resto del libro sería falso. Pero como la última afirmación se encuentra dentro del mismo libro la interpretación sobre el alcance de la misma deja a la veracidad del libro librada hacia el infinito. Así, sólo es posible salir del circuito de la autorreferencia tomando como punto de partida un punto de vista apartado del objeto que se valore.

Después de todo quizás los agujeros negros no existan

Según unos cálculos teóricos puede que la materia en proceso de colapso nunca llegue a formar agujero negros tal y como los conocemos, pues ésta, aunque en proceso de contracción nunca cruzaría el horizontes de sucesos, debido a una radiación tipo Hawking. De este modo la información se conservaría y la paradoja sobre la eliminación de información desaparecería.

Referencia: Case Western Reserve University.

Las famosas leyes de Murphy

Acá van algunas leyes de Murphy. Un poco divertidas, un poco (bastante) ciertas.

LEY DE MURPHY. Si algo puede salir mal, saldrá mal.
Corolarios:

-Nada es tan fácil como parece.
-Todo lleva más tiempo del que usted piensa.
-Si existe la posibilidad de que varias cosas vayan mal, la que cause más perjuicios será la única que vaya mal.
-Si usted intuye que hay cuatro posibilidades de que una gestión vaya mal y las evita, al momento aparecerá espontáneamente una quinta posibilidad.
-Cuando las cosas se dejan a su aire, suelen ir de mal en peor.
-En cuanto se ponga a hacer algo, se dará cuenta de que hay otra cosa que debería haber hecho antes.
-Cualquier solución entraña nuevos problemas.
-Es inútil hacer cualquier cosa a prueba de tontos, porque los tontos son muy ingeniosos.
-La naturaleza siempre está de parte de la imperfección oculta.
-La madre Naturaleza es una perra.
-Filosofía de Murphy. Sonría. Mañana puede ser peor.
-Postulado de Boling. Si se encuentra bien, no se preocupe. Se le pasará.
-Primera ley de Chisholm. Cuando las cosas vayan bien, algo habrá que haga que vayan mal.
Corolarios:
-Cuando parece que ya nada puede ir peor, empeora.
-Cuando le parezca que las cosas van mejor, es que se le ha pasado algo por alto.
Paradoja de Murphy: Siempre es más fácil hacerlo de la forma más difícil.
Ley de Pudder: Todo lo que empieza bien, acaba mal. Todo lo que empieza mal, acaba peor.
Postulado de Tylczak sobre la probabilidad: Los sucesos fortuitos tienden a suceder todos juntos.
Síntesis de Schnatterly sobre los corolarios: Si algo no puede salir mal, saldrá mal.
Paradoja de Sivermn: Si la Ley de Murphy tiene que salir mal, saldrá mal.
Extensión a la ley de Murphy: Si una serie de sucesos puede salir mal, saldrá mal en la peor secuencia posible.
Corolario de Farndick del quinto corolario: Después de que las cosas hayan ido de mal en peor, el ciclo se repetirá.
Extensión de Gattuso de la ley de Murphy: Nada es tan malo nunca como para que no pueda empeorar.
Ley de Perrusel: No hay tarea tan simple que no pueda hacerse mal.

La presión atmosférica en Venus

¿Resulta paradójico que la presión atmosférica de Venus sea 90 veces la terrestre?

La presión en la superficie de un planeta es función tanto de la densidad media y el espesor de su atmósfera, como de la aceleración de la gravedad.

De los planetas Venus y la Tierra se tienen muchos datos. Por ejemplo, se sabe que la masa molecular media de la “molécula atmosférica venusiana” es de 44 uma (que, por definición, coincide con la masa molar expresada en gramos) y la de la “molécula atmosférica terrestre” es de 29 uma. También se conocen las temperaturas atmosféricas medias de ambos planetas (730ºK para Venus y 290ºK para la Tierra) y que la aceleración de la gravedad venusiana es aproximadamente un 10% menor que la terrestre.
Con estos datos, ¿puede determinarse cuanto ocupan las atmósferas de Venus y la Tierra? Hecha la salvedad de que en los sistemas gaseosos no existen bordes definidos, sí es posible responder aproximadamente a esta pregunta. Basta aplicar el sencillo modelo de los gases ideales (y suponer que la atmósfera es totalmente homogénea) para deducir que el espesor de la atmósfera de Venus es casi doble que el de la Tierra . Esto permite explicar el dato que nos proporcionan las sondas de que la presión en la superficie de Venus supera en un factor de 90 a la de la Tierra.
Por otro lado, hay quien encuentra paradójico que un planeta como Venus, algo menos masivo y bastante más caliente que la Tierra sea capaz de retener más atmósfera. Para sostener tal afirmación argumentan que la velocidad cuadrática media de la “molécula atmosférica” de Venus es un 65% mayor que la de la Tierra mientras que la velocidad de escape venusiana sólo es un 7% menor que la terrestre.
Realmente no existe semejante paradoja.
Obviamente Venus retendrá cualquier molécula en su atmósfera cuya velocidad media sea inferior a su velocidad de escape (que es 10,4 km/s). Con ayuda de la distribución de Maxwell-Boltzmann podemos calcular la velocidad media de la “molécula atmosférica venusiana”, que resulta ser de 0,6 km/s, mucho menor que la de escape.

A diferencia de los sólidos y los líquidos, cuyas fronteras (interfases) son bastante nítidas, en los gases esto no es así. Se conoce el borde inferior de la atmósfera, pero el superior no. La atmósfera paulatinamente va enrareciéndose conforme ascendemos hasta “perderse” en el espacio interplanetario. Este enrarecimiento puede calcularse con la ecuación barométrica siguiente:
Donde P es la presión, m es la masa molar media, g es la aceleración de la gravedad, h es la altura, R es la constante de los gases ideales y T es la temperatura absoluta (para deducir esta ecuación se admitieron varias hipótesis: los gases son ideales, y g y T no varían con la altura).
Por tanto, cuando se habla de “espesor” de la atmósfera se debe entender de un modo aproximada.