martes, 27 de enero de 2009

mas curiosidades matemáticas...

A pedido de un lector anónimo que detectó un error de tipeo, corregí el post anterior. Para compensarlo les dejo otro ejemplo para multiplicar sin saber las tablas:

Multipliquemos 375 por 1.517. Me apuro a decir que da lo mismo elegir cualquiera de los dos números para multiplicarlo o dividirlo por 2, por lo que sugiero, para hacer menor cantidad de cuentas, que tomemos el 375 como “cabeza” de la columna en la que dividiremos por 2. Se tiene entonces:

375 _____1.517

187_____3.034

93_____6.068

46_____12.136

23_____24.272

11_____48.544

5_____97.088

2_____194.176

1_____388.352



Ahora hay que sumar los de la segunda columna cuyos compañeros de la primera columna sean impares:

375 _____1.517

187_____3.034

93_____6.068

46_____12.136*

23_____24.272

11_____48.544

5_____97.088

2_____194.176*

1_____388.352

Y, justamente, 568.875 es el producto que estábamos buscando.
Ahora, le invito a que piense por qué funciona este método que no requiere que uno sepa las tablas de multiplicar (salvo la del 2, claro).



lunes, 26 de enero de 2009

Paradoja de Galileo

La paradoja de Galileo es una demostración de una de las sorprendentes propiedades de los conjuntos infinitos. El carácter paradójico se da por poner en entredicho el principio de que el todo es mayor que sus partes.

En su último trabajo científico, Dos nuevas ciencias, Galileo Galilei hizo dos afirmaciones aparentemente contradictorias acerca de los números enteros positivos. Primero, algunos números tienen la propiedad de ser un cuadrado perfecto (esto es, el cuadrado de un entero, desde ahora llamado simplemente cuadrado), mientras que otros no la tienen. Por ello, el conjunto de todos los números, incluyendo tanto a los cuadrados como a los no cuadrados, tiene que ser mayor que el conjunto de los cuadrados. Sin embargo, por cada cuadrado hay exactamente un número que es su raíz cuadrada, y por cada número hay exactamente un cuadrado. Por lo tanto, no puede haber más de un tipo que de otro. Este es uno de los primeros usos, aunque no el primero, de demostración a través de una función biyectiva.

Galileo llegó a la conclusión de que los conceptos de menor, igual y mayor sólo se aplicaban a conjuntos finitos, y no tenían sentido aplicados a conjuntos infinitos. En el siglo XIX, Cantor, usando los mismos métodos, demostró que a pesar de que el resultado de Galileo era correcto si se aplicaba a los números enteros, o incluso a los racionales, la conclusión general no era cierta: algunos conjuntos infinitos son mayores que otros, en el sentido en el que no se pueden relacionar en una correspondencia uno-a-uno.

Una pequeña historia del "0"

El primer cero es, sin discusión, el cero babilonio; es anterior al siglo III de nuestra era. Mientras que plasmaban las distintas cifras que representaban las diferentes unidades por medio de espigas verticales u horizontales, los escribas babilonios concibieron un signo que se representaba como una doble espiga inclinada. Signo de separación en la escritura de los números, es una verdadera cifra cero.

En ciertas utilizaciones específicas, en astronomía por ejemplo, este mismo signo, ampliando sus funciones, se utilizó como cero operador; lo encontramos en posición inicial o terminal de la escritura de números, especialmente en la escritura de fracciones sexagesimales. En ningún momento, sin embargo, este cero fue utilizado como número.

Los sabios astrónomos mayas pusieron a punto, durante el primer milenio de nuestra era, una eficaz numeración de posición, de base 20, en la que los números son representados por conjuntos de puntos y trazos, de acuerdo con una disposición vertical.

Un signo gráfico particular, un óvalo horizontal, que representa una concha de caracol, un glifo, desempeña el papel de signo separador eficaz y permite una escritura sin ambigüedad de los números. Aunque no ha adquirido aún poder operatorio, bien como signo operador o, menos aún, como número, no deja de ser un notable invento.

DEL VACIO A LA NADA: EL PASO DE LA POSICION VACIA A LA CANTIDAD NULA
A los indios les debemos el invento del cero "completo", por así decir con sus tres funciones. Su presencia está documentada ya en el siglo V de nuestra era.

Sunya es el nombre de la marca del vacío en lengua india; así, la primera figuración del cero fue un pequeño círculo, Sunya, el vacío. Traducido al árabe se convierte en sifr, traducido al latín, zephirum, que produjo zephiro, cero. Así en muchas lenguas, la última cifra llegada, el sifr dio su nombre a toda la colección de las cifras.

El vacío es una categoría especial, aunque, precisamente, sea tan difícil de localizar. En la creación del cero cifra, designar el lugar vacío en una columna por medio de un signo es, pasando de la afirmación a la negación, atreverse a significar una ausencia por medio de una presencia.
Por lo que a la "nada" se refiere, participa de la categoría de la existencia. La creación del cero número realiza una síntesis de ambas categorías y lleva a cabo una radical transformación del estatuto del número. "No hay nada" se convierte, con él, en "hay nada". Paso de la lógica a la aritmética, del cero lógico al cero matemático que es un "valor".

El trayecto que permitió pasar de "no hay" a "hay cero" constituye una etapa fundamental en la historia del pensamiento. ¿Cuánto? ¡Cero!

DEL "APEIRON" DE LOS ANTIGUOS GRIEGOS AL INFINITO POTENCIAL DE ARISTOTELES
Durante siglos, los griegos surcaron con el pensamiento el apeiron, lo "ilimitado". Un ilimitado en el que muchos vieron el pilón del infinito y que se refería al tiempo, el espacio, la generación y la corrupción de las cosas, y los propios números.

El tiempo no tiene inicio ni término, el espacio es la sede de las líneas y superficies para las que la división de las magnitudes no tiene fin; en cuanto a los números, ¿quién puede interrumpir su sucesión?

¿Cuál fue la tesis de Aristóteles? En primer lugar, hay "infinito" en la naturaleza, y este infinito sólo puede deducirse de la cantidad. En segundo lugar, si existe, el infinito debe ser definido. En tercer lugar, el infinito no puede ser aprehendido como una totalidad, por lo tanto le es imposible existir en acto.

Conclusión: el infinito existe, pero al no poder existir "en acto", existirá "en potencia".
(*) Publicado en la revista Muy Interesante.

¿Cómo multiplicar si uno no sabe las tablas?

Les comparto mas curiosidades matemáticas extraídas del genial "Matemática, estás ahí?" de Adrián Paenza.

Esta es una forma “alternativa” de multiplicar, que permite obtener el producto de dos números cualesquiera sin saber las tablas. Sólo se requiere:

1. saber multiplicar por 2 (o sea, duplicar);
2. saber dividir por 2, y
3. saber sumar.

Este método no es nuevo. En todo caso, lo que podría decir es que está en desuso u olvidado, ya que era la forma en que multiplicaban los egipcios y que aún hoy se utiliza en muchas regiones de Rusia. Es conocido como la multiplicación paisana . En lugar de explicarlo en general, voy a ofrecer un ejemplo que será suficiente para entenderlo.

Supongamos que uno quiere multiplicar 19 por 136.

Entonces, prepárese para escribir en dos columnas, una debajo del 19 y otra, debajo del 136.
En la columna que encabeza el 19, va a dividir por 2, “olvidándose” de si sobra algo o no.

Para empezar, debajo del 19 hay que poner un 9, porque si bien 19 dividido 2 no es exactamente 9, uno ignora el resto, que es 1, y sigue dividiendo por 2. Es decir que debajo del 9 pone el número 4. Luego, vuelve a dividir por 2 y queda 2, y al volver a dividir por 2, queda 1.
Ahí para.
Esta columna, entonces, quedó así:

19
9
4
2
1

Por otro lado, en la otra columna, la encabezada por el 136, en lugar de dividir por 2, multiplique por 2 y coloque los resultados a la par de la primera columna. Es decir:

19_____136
9_____ 272
4 _____ 544
2 _____ 1.088
1 _____2.176

Cuando llega al nivel del número 1 de la columna de la izquierda detenga la duplicación en la columna del 136. Convengamos en que es verdaderamente muy sencillo. Todo lo que hizo fue dividir por 2 en la columna de la izquierda y multiplicar por 2 en la de la derecha.
Ahora, sume sólo los números de la columna derecha que corresponden a números impares de la izquierda. En este caso:


19_____136
9 _____272
4_____544*
2 _____1.088*
1_____2.176

Al sumar sólo los compañeros de los impares (los que tienen * no lo sumamos), se tiene:

136 + 272 + 2.176 = 2.584

que es (¡justamente!) el producto de 19 por 136.

lunes, 19 de enero de 2009

Ortostilo (Reloj solar italiano)

En Gnomónica se denomina Ortostilo a la parte del Stilo o línea perpendicular a la superficie del Reloj de sol. Se trata de una de los más antiguos elementos empleados en la construcción de relojes de sol, por ejemplo en los solariums que indicaban las horas temporarias horizontales empleados por los romanos, tal y como el que se describe por Plinio el Viejo en el Campo de Marte de Roma, el ortoestilo es un obelisco por su carácter perpendicular a la superficie de la plaza.

A la sombra del ortostilo, los autores del Renacimiento, la dividían en:

  • Umbra recta si la sombra del ortostilo se arroja sobre una pared vertical
  • Umbra versa si la sombra del ortostilo se arroja sobre un suelo horizontal

Hoy en día la mayoría de los relojes de sol (estilo-axiales) emplean el ortostilo como un elemento de elevación del gnomon y su sombra carece de valor gnomónico.

Experimento de Franck y Hertz

El experimento de Franck y Hertz se realizó por primera vez en 1914 por James Franck y Gustav Ludwig Hertz. Tiene por objeto probar la cuantificación de los niveles de energía de los electrones en los átomos. El experimento confirmó el modelo cuántico del átomo de Bohr demostrando que los átomos solamente podían absorber cantidades específicas de energía (cuantos). Por ello, este experimento es uno de los experimentos fundamentales de la física cuántica.

Por esta experiencia Franck y Hertz recibieron el premio Nobel de física en 1925.

Historia

En 1913, Niels Bohr propuso un nuevo modelo del átomo, (átomo de Bohr), y de órbitas de los electrones, que se basaba en el modelo del átomo de Rutherford (análogo a un sistema planetario). Su modelo tenía dos postulados, uno de ellos era relativo a la cuantificación de las órbitas de los electrones. Así, los primeros experimentos consistían en poner en evidencia esta cuantificación. Estos primeros experimentos usaban la luz, y a la época se sabía que esta estaba formada por "cuantos de energía". Por ello, se reprochaba a Bohr que los resultados de la cuantificación de las órbitas (y por tanto la cuantificación de los estados de energía de los electrones del átomo) se debían sólo a la cuantificación de la luz.

En 1914, Franck y Hertz, que trabajaban en las energías de ionización de los átomos, pusieron a punto una experiencia que usaba los niveles de energía del átomo de mercurio. Su experiencia sólo usaba electrones y átomos de mercurio, sin hacer uso de ninguna luz. Bohr encontró así la prueba irrefutable de su modelo atómico.

El experimento

Principio

Con el fin de poner en evidencia la cuantificación de los niveles de energía, utilizamos un triodo, compuesto de un cátodo, de una rejilla polarizada y de un ánodo, que crea un haz de electrones en un tubo de vacío que contiene mercurio gaseoso.

Medimos entonces la variación de la corriente recibida por el ánodo con arreglo a la energía cinética de los electrones, y podemos deducir las pérdidas de energía de los electrones en el momento de las colisiones.

Material

El conjunto del triodo está contenido dentro de una cápsula de vidrio que contiene mercurio. El experimento puede realizarse a diferentes temperaturas y es interesante comparar estos resultados con una medida a temperatura ambiente (el mercurio está entonces en el estado líquido). Una vez calentado a 630 K, el mercurio se vuelve gaseoso. Pero para evitar tener que alcanzar tal temperatura, se trabaja a una presión reducida dentro de la cápsula y se calienta entre 100 y 200 °C.

Para que los electrones sean arrancados y para que tengan una velocidad bastante importante, utilizamos una tensión entre el cátodo y la rejilla, una tensión de aceleración. Igualmente, puede ser interesante introducir una tensión sentido opuesto, entre el ánodo y la rejilla con el fin de frenar los electrones.

Los resultados de la experiencia

Como resultado de esta experiencia, nos es posible representar la evolución de la diferencia de potencial que resulta de un convertidor de corriente - tensión (dispuesto a la salida del ánodo) con respecto a la diferencia de potencial de extracción de los electrones (desde el cátodo).

  • Para diferencias de potencial bajas - hasta 4,9 V - la corriente a través del tubo aumenta constantemente con el aumento de la diferencia potencial. Con el voltaje más alto aumenta el campo eléctrico en el tubo y los electrones fueron empujados con más fuerza hacia la rejilla de aceleración.
  • A los 4,9 voltios la corriente cae repentinamente, casi de nuevo a cero.
  • La corriente aumenta constantemente de nuevo si el voltaje se sigue aumentando, hasta que se alcanzan 9.8 voltios (exactamente 4.9+4.9 voltios).
  • En 9.8 voltios se observa una caída repentina similar.
  • Esta serie de caídas en la corriente para incrementos de aproximadamente 4.9 voltios continuará visiblemente hasta potenciales de por lo menos 100 voltios.

viernes, 16 de enero de 2009

Bandas de Mach

Las bandas de Mach son una ilusión óptica que parte de una imagen con dos bandas, una iluminada y la otra oscura, separadas por una estrecha banda central coloreada con un gradiente de iluminado a oscuro. El ojo humano percibe dos estrechas bandas de diferente luminosidad, que no están presentes en la imagen verdadera, a cada lado del gradiente. Esta ilusión se denomina así debido a Ernst Mach.

Ilusión lunar

Se denomina ilusión lunar al fenómeno por el que la Luna (y también el Sol), dependiendo de si su posición está cercana al cenit o del horizonte, parece de distinto tamaño aunque no hay causas físicas astronómicas u ópticas que expliquen tal diferencia. En cambio, la razón del fenómeno es de carácter psicológico.

Aparente diferencia de tamaño lunar

La luna parece tener un tamaño mayor cuando está sobre el horizonte respecto a cuando está en el cenit.

La causa de este fenómeno no es, como a menudo se supone—también en el caso del Sol— un resultado del efecto de la atmósfera, que en cambio sí es responsable de su enrojecimiento, pues por causa del efecto Rayleigh las moléculas del aire absorben mucha más luz azul que roja, así que cuando la luna o el sol están más próximos al horizonte se perciben como más rojos, dado que los rayos de luz tienen que atravesar un espesor mayor de atmósfera. Tampoco el causante es la refracción, la variación de la trayectoria debido al cambio de medio. La causa es una ilusión óptica investigada por la psicología de la percepción.

Tamaño angular y percepción del tamaño

Para la correcta percepción del tamaño de un objeto es importante disponer también de información correcta sobre la distancia real al observador. El cerebro humano “calcula” el tamaño de los objetos a partir del tamaño de la imagen en la retina (el tamaño angular) y del conocimiento disponible acerca de su distancia (ley de Emmert), dado que un objeto más cercano a la retina produce una imagen de mayor tamaño que uno más alejado, el cerebro, empleando la experiencia, interpreta que está más cerca. Como la Luna está siempre a aproximadamente 385 000 Km de distancia de la Tierra, el supuesto cambio de tamaño de la Luna dependiendo de su cercanía al horizonte debe ser una ilusión.

Los fallos de la percepción del tamaño ocurren principalmente cuando existe una falsa estimación de la distancia: tomando un objeto (D) a la distancia (f) y que produce una imagen en la retina del tamaño (A), si la distancia se estima erróneamente como (e), puede percibirse como si fuera más pequeño de lo que es (C), pues un objeto de ese tamaño a esa distancia produciría una imagen del mismo tamaño (A). Un ejemplo de esto es la Luna en su cenit o el llamado “efecto de los coches de juguete”: cuando se mira desde una torre alta, por falta de experiencia, se subestima la distancia y los coches parecen más pequeños, como coches de juguete.

De forma inversa: un objeto (C) a una distancia (e) que produce una imagen (B) en la retina, y cuya distancia se interpreta erróneamente como (f), se percibirá de un tamaño mayor al real (D). Un ejemplo es la luna en el horizonte. Entre la luna y el observador puede haber muchos objetos (casas, árboles, montañas -más información acerca de la profundidad) que entre la luna alto del cielo y el espectador, caso en el que la distancia puede sobrestimarse, y si se estima mayor la distancia al objeto pero el tamaño de la imagen en la retina es el mismo el objeto se percibe como de mayor tamaño, para mantener la coherencia. Por esta causa la Luna (o el Sol) pueden percibirse como de mayor tamaño cuando están en la cercanía del horizonte.

El firmamento achatado

El tamaño real de la Luna en las cercanías del cenit no se percibe correctamente. Todos los astrónomos saben, que la Luna tiene un diámetro mucho más grande (3 476 Km), de lo que la ligeramente defectuosa percepción humana permite apreciar. Por esta causa aparece la apreciación incorrecta de la distancia: la enorme distancia (aproximadamente 385.000 Km) de la luna no es perceptible para el hombre, pero la Luna en el horizonte parece más lejana que cuando está en lo alto del firmamento. A causa de la presencia de información de referencia (árboles, casas, etc.) junto a la visión de la línea del horizonte y de la ausencia de estas referencias en lo alto hace que el cielo, en el que parecen estar suspendidas la Luna, el Sol y las estrellas, parezca achatado. Dado que en ambos casos el tamaño de la imagen en la retina es el mismo, a causa de la diferente percepción de las distancias parecería más grande la Luna en el horizonte y menor en las proximidades del cenit.

Debido a la forma achatada del firmamento también las estrellas de algunas las constelaciones, como la del Cisne se perciben como más dispersas, pues la constelación completa parece más grande, cuando está en la cercanía del horizonte que cuando está junto al cenit: su tamaño parece disminuir progresivamente cuando por ejemplo se desplaza durante la noche del horizonte oeste a las cercanías del cenit. Hay un cambio de tamaño linear y continuo dependiendo de su posición en el cielo en las constelaciones, aunque no es tan claro en la Luna o el Sol.

El hablar de los principios aclaratorios del achatamiento del firmamento, sólo para explicar también la aparente variación continuada del tamaño percibido de las constelaciones, mientras que el principio de los objetos similares (véase a continuación) puede explicar mejor el cambio de tamaño percibido del Sol y la Luna en la cercanía del horizonte.
Aquí les comparto un par de imágenes para describirlo:




Paradoja del cuadrado perdido

Les comparto un desafío, es la paradoja del cuadrado perdido. A buscar una hoja, lápiz, regla, transportador y tijera a ver si lo resuelven.

La paradoja del cuadrado perdido es una ilusión óptica usada en clases de matemáticas, para ayudar a los estudiantes a razonar sobre las figuras geométricas. Está compuesta de dos figuras en forma de triángulo de base 13 y altura 5, formadas por las mismas piezas, donde uno aparenta tener un "agujero" de 1×1 en él.

La clave de la paradoja está en el hecho de que ninguno de los triángulos tiene el mismo área que sus piezas componentes. El área de cada pieza es:

  • Pieza roja: 12 cuadrados.
  • Pieza verde: 8 cuadrados.
  • Pieza amarilla: 7 cuadrados.
  • Pieza azul: 5 cuadrados.

Las cuatro figuras (amarilla, roja, azul y verde) ocupan un total de 32 cuadrados, pero el triángulo tiene 13 de base por 5 de altura, lo que supone un área de 32,5 cuadrados.

La paradoja tiene una explicación simple: la figura presentada como un triángulo no lo es en realidad, debido a que en realidad tiene cuatro lados, y no los tres propios del triángulo. La "hipotenusa" no está formada por una recta, sino por dos con pendientes ligeramente distintas. Si comparamos los ángulos de inclinación de la hipotenusa respecto de la base de los triángulos rojo y azul vemos que son distintos. En el triángulo rojo el ángulo es 20.55°, mientras que en el azul es 21.8°. Así, la suma de los tres ángulos en la figura de arriba es menor que 180°, mientras que en la figura de abajo la suma de los tres ángulos es mayor que 180°.

domingo, 11 de enero de 2009

El hombre que calculaba


Ha llegado a mis manos "El hombre que calculaba", parece interesante. Por ahora tengo dos libros pendientes y hasta que no los termine no voy a comenzar con este, pero igual quería compartirlo ya que es un libro matemático al igual que este blog. Lo que está mas abajo no es mi opinión, es lo que he encontrado por ahí.

El hombre que calculaba es una novela escrita por el brasileño Júlio César de Mello e Souza, bajo el seudónimo Malba Tahan. Esta obra puede ser considerada al mismo tiempo como una novela y como un libro de problemas y curiosidades matemáticas. El propio autor reconoció que uno de sus objetivos al escribirlo fue el de contribuir a popularizar las matemáticas, presentándolas para ello, no ya de forma abstracta, o en contextos meramente simbólicos, sino integradas a los acontecimientos y atravesadas por muchos otros aspectos, como cuestiones morales y de historia.

Publicado por primera vez en Brasil en 1949, El hombre que calculaba une matemáticas con ficción e historia.

Otra particularidad en la composición estética de esta obra es la de que el narrador toma parte en la historia que el mismo narra, pero no es el personaje principal.

A lo largo de la narración se muestra con frecuencia la devoción de los personajes, en este caso a la religión musulmana. Sin embargo, las relfexiones místicas son expuestas como elemento discursivo dentro de la construcción de los personajes y del mundo árabe que se recrea en esta ficción.

Argumento

Hank Tade-Mai es un viajero que retorna en su camello a Bagdad, luego de una excursión a la ciudad de Samarra. En su camino, encuentra a un hombre modestamente vestido, sentado en una piedra y exclamando en voz alta números gigantescos. El hombre que calculaba dice llamarse Beremiz Samir y cuenta que nació en Persia, donde trabajando como pastor comenzó a contar ovejas para no extraviar ninguna, siendo que a partir de entonces tomó el gusto por contar y calcular acerca de todo lo que encuentra a su paso. El viajero está maravillado con el don de este hombre y termina convenciéndolo, no sin antes sorprenderlo por su gran modestia, de ir a Bagdad para mostrar sus habilidades matemáticas y encontrar un trabajo bien pago en el gobierno del califa. Juntos, el viajero y Beremiz emprenden un largo viaje en el cual el hombre que calculaba resuelve diversos problemas, como disputas entre personas, y demuestra ser no sólo un prodigio matemático, sino también un hombre de una gran entereza moral y un excelente narrador de historias.

Problema de los puentes de Königsberg

Ví un documental sobre la problemática y la solución que se presentaba en Prusia. Aquí les comparto lo que encontré en Wikipedia.

El problema de los siete puentes de Königsberg (Prusia oriental en el siglo XVIII -ciudad natal de Kant- y actualmente, Kaliningrado, en la óblast rusa de Kaliningrado) es un célebre problema matemático que fue resuelto por Leonhard Euler en 1736 y dio origen a la Teoría de los grafos.

Consiste en lo siguiente:

Dos islas en el río Pregel que cruza Königsberg se unen entre ellas y con la tierra firme mediante siete puentes. ¿Es posible dar un paseo empezando por una cualquiera de las cuatro partes de tierra firme, cruzando cada puente una sola vez y volviendo al punto de partida?

Imagen:puentes_Konigsberg.jpg

Euler enfocó el problema representando cada parte de tierra por un punto y cada puente, por una línea, uniendo los puntos que se corresponden. Entonces, el problema anterior se puede trasladar a la siguiente pregunta: ¿se puede recorrer el dibujo terminando en el punto de partida sin repetir las líneas?

Imagen:puentes_Kronigsberg_grafo.jpg

Euler demostró que no era posible puesto que el número de líneas que inciden en cada punto no es par (condición necesaria para entrar y salir de cada punto regresando al punto de partida por caminos distintos en todo momento). En teoría de los grafos esta idea se corresponde con la posibilidad de encontrar un Ciclo Euleriano en un grafo.

Mapa de Königsberg

Image:Konigsberg bridges.png

Este mapa de Königsberg de la época de Euler muestra dónde se encontraban los siete puentes (en verde claro) y las ramas del río (en azul cielo).

Regla de oro de Fermi

La regla de oro de Fermi es un método empleado en teoría de perturbaciones para calcular la tasa de transición (es decir, la probabilidad de que se produzca una transición dada por unidad de tiempo) entre un autoestado de la energía dado y un continuo de autoestados.

Dicho de otra manera, explica por qué unas líneas espectrales atómicas brillan con más intensidad que otras, en lugar de tener todas la misma intensidad (que es lo que, erróneamente, predice el modelo de Bohr).

Historia

La regla de oro de Fermi es un buen ejemplo de la ley de Stigler, dado que si bien recibe el nombre de Enrico Fermi, la mayor parte de la teoría fue desarrollada por Paul Dirac en 1927,[1] quien llegó a una ecuación casi idéntica. La regla fue asociada a Fermi debido a que éste la conocía como Regla de Oro Número 2, debido a la utilidad de la misma.

lunes, 5 de enero de 2009

Filosofía de la matemática

La filosofía de las matemáticas es una rama de la filosofía. Según Michael Dummett puede considerarse que hay cuatro preguntas fundamentales sobre el contenido de la filosofía de las matemáticas: 1) ¿Cómo sabemos que nuestras teorías matemáticas son verdaderas? 2) ¿Sobre qué son las matemáticas? En otras palabras, si un enunciado matemático es verdadero, ¿qué lo hace verdadero? ¿En virtud de qué es verdadero? 3) ¿Las verdades matemáticas son verdaderas por necesidad? Y, si lo son, ¿cuál es la fuente de esta necesidad? 4) ¿Cómo es posible aplicar las verdades matemáticas a la realidad externa? Y ¿en qué consiste esta aplicación? (Dummett, 1998, p. 124). También se plantean otras cuestiones como: ¿Qué significado tiene referirse a un objeto matemático? ¿Cuál es la naturaleza de una proposición en matemáticas? ¿Qué relación hay entre lógica y matemática? ¿Cómo se explica la belleza de las matemáticas?

El origen de las matemáticas y el empirismo matemático
A las preguntas de cómo sabemos que las proposiciones matemáticas son verdaderas y qué es lo que hace a una proposición matemática sea verdadera podemos responder acudiendo al origen de las matemáticas. En esta sección comenzaremos haciendo un breve esbozo de cómo pudieron surgir los primeros conceptos y proposiciones matemáticos para luego explicar cómo este surgimiento podría hacer plausible cierta hipótesis sobre dónde hay que buscar los conceptos matemáticos y qué hace que las proposiciones matemáticas sean verdaderas. Es indudable que las matemáticas tienen su origen en las actividades de contar y medir, aunque el cómo sea más difícil de establecer. La mejor hipótesis de la que disponemos se basa en los hallazgos arqueológicos en Mesopotamia.

Entre el milenio VIII y IV a.n.e. existieron fichas que tenían la función de describir cantidades de productos, animales o cualquier elemento de la actividad económica. La forma de hacerlo debe haber sido aditiva durante largo tiempo. Así, en caso de disponer de cinco animales, se representaría tal cantidad por cinco fichas, pongamos por caso, en forma de cilindro. Si, en cambio, se quería registrar cinco jarras de aceite, se emplearían cinco ovoides con una marca. De este modo, cada ficha representaría una unidad del producto cuya naturaleza viene representada por la forma de la ficha y la cantidad presenta una representación aditiva. Con ello tenemos la condición necesaria para la aparición de los números que es el establecimiento de una correspondencia uno-a-uno entre los elementos a contar (animales, jarras) y los elementos contables (fichas); pero todavía no tenemos números.

Pero desde muy pronto las fichas debieron ser transportadas en algún tipo de envoltura, sean bolsas de cuero o similares. En algún momento, la forma de transporte se simplificó envolviendo estas fichas en esferas huecas de barro. Estas burbujas de arcilla pueden en muchas ocasiones presentar signos externos. Esto permite formular una hipótesis sencilla y atractiva sobre la funcionalidad de fichas y burbujas.

Por ejemplo, un agricultor y un ganadero desean hacer un trueque de productos. Uno entregará varios animales a cambio de un número de cestos de grano. Cuando llegan al acuerdo difieren el pago al objeto de que algunos de sus trabajadores acuda a las tierras del otro para recoger el objeto del intercambio. Pero, de algún modo, ha de sellarse el acuerdo. La forma de hacerlo será moldear las fichas que representen las cantidades que cada uno entregará y dárselas al otro envueltas en una burbuja de arcilla. De este modo, los trabajadores de cada uno se presentan en las tierras del otro con la burbuja recibida. Allí mismo se rompe y se encontrarán las fichas que representan aquello que debe entregarse al poseedor de la burbuja.

Conviene prestar atención a las marcas realizadas en el exterior de la burbuja y que se han mencionado anteriormente, pues se supone que representan sobre la burbuja las fichas que permanecen dentro de la burbuja, a modo de recordatorio de lo que contiene. Éste sería el vínculo entre las fichas y los signos exteriores. Así, con el tiempo, estos signos van haciendo inútiles las fichas del interior de la burbuja. Sin las fichas, las burbujas se fueron transformando dando paso a las tablillas donde la representación numérica será plana a finales del IV milenio a.n.e.

Las tablillas así inventadas servían para registrar cantidades diversas del mismo producto o de productos diferentes. Al corresponder, por ejemplo, a entradas distintas por el proveedor, o cualquier otra circunstancia, resulta adecuado registrar también el total de la cantidad registrada. Eso se hacía habitualmente en el reverso de la tablilla. Por ejemplo, una tablilla que registra, en su anverso, cinco jarras de cerveza compradas a Fulano y cuatro compradas a Sotano; en el reverso están las nueve jarras agrupadas. Este es un caso especialmente simple de suma por cuanto lo único que se hace en el reverso es presentar las nueve jarras agrupadas. De este modo, la suma consiste exclusivamente en repetir cada uno de los signos utilizados para contar. Pero desde el punto de vista aritmético, las cantidades a sumar pueden rebasar la simple enumeración de sus elementos, con lo que nos encontramos en una situación más compleja. Y esta es una de las razones de la aparición de los sistemas de numeración, pues es en este tipo de caso cuando se aplica el sistema de numeración vigente para reunir en un solo resultado la acción aritmética emprendida. Esto último solía depender del producto, de la misma manera que por tradición contamos los huevos por docenas y no por decenas y para el tiempo utilizamos el sistema sexagesimal (una hora son sesenta minutos, cada uno de los cuales son sesenta segundos).

Las transacciones y contabilidades comerciales se realizaban pesando los productos objeto de comercio (lana, cereal, estaño, etc.) y tasando su valor en la plata correspondiente, que actuaba a modo de moneda no acuñada. Actuaba en la triple función bajo la cual se constituye la moneda: como unidad de cuenta; como medio de intercambio, dado que podía incluirse como parte de la transacción comercial; y también como medio de pago, tal como se deduce de numerosos documentos de venta y préstamos. Los problemas algebraicos que generaban estas transacciones hicieron que los mesopotámicos fueran capaces de resolver sistemas de ecuaciones lineales de hasta tres incógnitas o ecuaciones de segundo grado.

Las primeras unidades de medida parecen haber sido las referidas al peso, como es de suponer dado lo dicho antes. Sin embargo, durante el tercer milenio a.n.e. se fueron constituyendo unidades cada vez más estandarizadas tanto de longitud, como de superficie o volumen. Ello fue impulsado por el nacimiento de las ciudades - estado y el crecimiento de las relaciones comerciales entre ellas, así como entre el pueblo y la ciudad, hechos que impulsaban el establecimiento de acuerdos para realizar medidas comunes de los productos intercambiados.

Las unidades de medida de superficie eran cuadrados y rectángulos (más secundariamente, los triángulos) de determinadas longitudes en sus lados. Es fácil darse cuenta de que "enlosar" mediante estas unidades requería multiplicar, es decir, sumar reiteradamente. Es por ello que las escuelas de escribas debían dedicar un cierto tiempo a la práctica de la operación de multiplicar dos longitudes a lo que hay que unir la práctica subsiguiente en la transformación de las unidades resultantes de esta operación en sus múltiplos. El objetivo básico en este aspecto consistía en expresar el resultado de la medida con la menor cantidad de unidades posible, al objeto de que operaciones posteriores ofreciesen menos dificultad.

En el caso de un triángulo rectángulo de cateto una unidad, el área puede obtenerse sin más que multiplicar la mitad de la base por la altura, es decir, que el área de un triángulo de estas características se toma como la mitad del cuadrado de la misma base y altura que el triángulo, una relación que puede extenderse a cualquier otro triángulo, en particular uno equilátero (que, sin embargo, presenta el inconveniente de que la altura no es un valor inmediato, pero que también se puede calcular mediante raíces cuadradas, aunque el algoritmo utilizado por los mesopotámicos era un tanto inexacto).

Los mesopotámicos conocían lo que luego se ha llamado el teorema de Pitágoras en el sentido de que usaban longitudes de cuerda de 3, 4 y 5 unidades de largo para formar un gran ángulo recto para la construcción y para la medición de terrenos.

La medición de campos irregulares se hacía troceando el campo en cuadrados, rectángulos y triángulos. Por otra parte, se pueden utilizar estas figuras simples para aproximarse a superficies curvilíneas. De una forma parecida se actuaba con las unidades de volumen necesarias para calcular las medidas y trabajos de canales y edificios.

Todo lo dicho anteriormente ha intentado transmitir la mejor hipótesis sobre cómo se obtuvieron los primeros conceptos y verdades matemáticos que sin duda son los propios de la geometría y la aritmética. Pero también hace plausible que los conceptos matemáticos proceden, en cierta medida, de cómo es el mundo físico, del mundo que captamos mediante nuestro sentidos.

Para John Stuart Mill (1806-1873) los conceptos matemáticos proceden del mundo físico y las verdades de la matemática son verdades sobre el mundo físico, aunque de un carácter más general. Las verdades matemáticas serían las verdades más generales de todas (Dummett 1998, pp. 125-126).

Una posición que puede ser fácilmente confundida con la de Mill es la de David Hume (1711-1776) Para Hume, los conceptos matemáticos tienen su origen remoto en la sensación que luego es transformada por la actividad de la mente pero las verdades matemáticas son verdades sobre las relaciones entre las ideas, no sobre lo percibido.

En su Tratado de la Naturaleza Humana (Hume 1739, Libro I, Parte II), Hume mantiene que nuestros sentidos dan lugar a las impresiones que son copiadas por nuestras ideas, las cuales son reorganizadas por nuestra actividad mental dando lugar a ideas complejas. Un tipo de idea compleja son las relaciones y dentro de ellas Hume destaca aquellas que dependen enteramente de la comparación de ideas: la semejanza, los grados de cualidad y las proporciones de cantidad. De estas tratan las matemáticas que, para Hume, son básicamente la geometría y la aritmética.

Sin embargo, dicha reorganización que da lugar a las ideas complejas hace que éstas no sean una fiel reproducción de las impresiones recibidas. Hume introduce cierta creatividad de la mente mediante la imaginación a la hora de producir las ideas complejas de las matemáticas, las figuras y los números. Ambos se originan a partir de lo inexacto de la percepción sensible (Tratado SB 45 y ss.) mediante el mismo proceso que conduce a que creamos en la existencia continua de los cuerpos (Tratado SB 198). Para Hume, por tanto, las ideas matemáticas son producto, hasta cierto punto, de nuestra actividad mental. Por otra parte, Hume insiste en que la verdades matemáticas lo son sobre las relaciones entre las propias ideas y no sobre las relaciones de lo representado por las ideas.

Sin embargo, ya Renato Descartes (1596-1650) había interpretado de otro modo el conocimiento matemático, señalando en la "Sexta meditación" de sus Meditaciones metafísicas que "cuando imagino un triángulo, aun no existiendo acaso una tal figura en ningún lugar, fuera de mi pensamiento, y aun cuando jamás la haya habido, no deja por ello de haber cierta naturaleza, o forma, o esencia de esa figura, la cual es inmutable y eterna, no ha sido inventada por mí y no depende en modo alguno de mi espíritu; y ello es patente porque pueden demostrarse diversas propiedades de dicho triángulo" E insiste en que "Y nada valdría objetar en este punto que acaso dicha idea del triángulo haya entrado en mi espíritu por mediación de los sentidos, a causa de haber visto yo alguna vez cuerpo de figura triangular; puesto que yo puedo formar en mi espíritu infinidad de otras figuras, de las que no quepa sospechar ni lo más mínimo que hayan sido objeto de mis sentidos, y no por ello dejo de poder demostar ciertas propiedades que atañen a su naturaleza".

Descartes apunta a dos características que hacen que el saber matemático sea peculiar. En primer lugar, que no puede ser producto de la actividad de mi mente, pero tampoco, en segundo lugar, producto del mundo físico percibido. La razón es, para lo primero, el carácter demostrativo de las matemáticas. Para lo segundo, la creatividad matemática que supera lo que el mundo de los sentidos me puede ofrecer.

La fórmula del póquer

Una vez resuelto de forma matemática el juego de las damas y con los humanos recién adelantados por los ordenadores en la carrera casi infinita por dominar el ajedrez, el matemático holandés Ben van der Genugten asegura haber demostrado que en el póquer es más importante la habilidad que el azar. El «descubrimiento» no es una mera curiosidad más o menos científica, sino que tiene implicaciones legales, dado que en muchos países los juegos de azar están mucho más controlados (e incluso penados) por las leyes.

Los jugadores profesionales saben desde hace décadas lo que Ben van der Genugten sostiene haber probado con fórmulas matemáticas. Experto en probabilidad y estadística, el profesor explica que en el póquer el factor suerte tiene un papel mucho más pequeño que el del aprendizaje. El profesor sostiene que la diferencia entre un buen jugador y un principiante contrarresta con creces el indudable azar con el que son repartidos los naipes (si se excluyen ases en la manga y otras trampas, más propias de las películas que de los torneos de verdad). Eso explicaría por qué los mejores profesionales quedan con regularidad en los primeros lugares en los campeonatos importantes, como las series mundiales que cada año se celebran en Las Vegas.

La fórmula

La fórmula del póquer, desarrollada por Ben van der Genugten con ayuda de Peter Borm, profesor de matemáticas y de la teoría de los juegos, establece la relación entre habilidad, azar y aprendizaje. Su principio básico es que cuanto menos influye la suerte en un juego, mayor importancia cobra la habilidad.

Según el teorema de Genutgen, el nivel de habilidad equivale al efecto aprendizaje dividido entre ese mismo efecto aprendizaje más el efecto del azar. En resumen: Habilidad = efecto del aprendizaje / (efecto del aprendizaje + factor suerte). El efecto del aprendizaje no es otra cosa que la diferencia en la actuación entre un principiante y un jugador experto.

Según esta fórmula, se puede establecer un índice de habilidad para cada juego, cuyo valor varía entre cero y uno. Así, un juego totalmente dependiente de la suerte tiene un índice de habilidad de cero, como la lotería o la ruleta. Por el contrario, en el ajedrez o las damas el índice de habilidad se aproxima al uno absoluto, por cuanto la suerte no tiene incidencia o es prácticamente despreciable.

Según la fórmula de Van der Genugten, la mayoría de los juegos de casino, con los que las leyes de casi todos los países catalogan al póquer, tienen un índice de habilidad de cero o muy cercanos a cero. El blackjack es una ligerísima excepción, ya que tiene un índice de habilidad de 0,049, insuficiente para que un buen jugador se asegure la victoria, pero útil al menos para minimizar las pérdidas y, si la suerte acompaña, maximizar las ganancias. En el caso del póquer, el índice es muy superior y llega a 0,4. Suficiente para asegurar el éxito de los mejores, al menos a largo plazo.