Filosofía de la matemática

La filosofía de las matemáticas es una rama de la filosofía. Según Michael Dummett puede considerarse que hay cuatro preguntas fundamentales sobre el contenido de la filosofía de las matemáticas: 1) ¿Cómo sabemos que nuestras teorías matemáticas son verdaderas? 2) ¿Sobre qué son las matemáticas? En otras palabras, si un enunciado matemático es verdadero, ¿qué lo hace verdadero? ¿En virtud de qué es verdadero? 3) ¿Las verdades matemáticas son verdaderas por necesidad? Y, si lo son, ¿cuál es la fuente de esta necesidad? 4) ¿Cómo es posible aplicar las verdades matemáticas a la realidad externa? Y ¿en qué consiste esta aplicación? (Dummett, 1998, p. 124). También se plantean otras cuestiones como: ¿Qué significado tiene referirse a un objeto matemático? ¿Cuál es la naturaleza de una proposición en matemáticas? ¿Qué relación hay entre lógica y matemática? ¿Cómo se explica la belleza de las matemáticas?

El origen de las matemáticas y el empirismo matemático

A las preguntas de cómo sabemos que las proposiciones matemáticas son verdaderas y qué es lo que hace a una proposición matemática sea verdadera podemos responder acudiendo al origen de las matemáticas. En esta sección comenzaremos haciendo un breve esbozo de cómo pudieron surgir los primeros conceptos y proposiciones matemáticos para luego explicar cómo este surgimiento podría hacer plausible cierta hipótesis sobre dónde hay que buscar los conceptos matemáticos y qué hace que las proposiciones matemáticas sean verdaderas. Es indudable que las matemáticas tienen su origen en las actividades de contar y medir, aunque el cómo sea más difícil de establecer. La mejor hipótesis de la que disponemos se basa en los hallazgos arqueológicos en Mesopotamia.

Entre el milenio VIII y IV a.n.e. existieron fichas que tenían la función de describir cantidades de productos, animales o cualquier elemento de la actividad económica. La forma de hacerlo debe haber sido aditiva durante largo tiempo. Así, en caso de disponer de cinco animales, se representaría tal cantidad por cinco fichas, pongamos por caso, en forma de cilindro. Si, en cambio, se quería registrar cinco jarras de aceite, se emplearían cinco ovoides con una marca. De este modo, cada ficha representaría una unidad del producto cuya naturaleza viene representada por la forma de la ficha y la cantidad presenta una representación aditiva. Con ello tenemos la condición necesaria para la aparición de los números que es el establecimiento de una correspondencia uno-a-uno entre los elementos a contar (animales, jarras) y los elementos contables (fichas); pero todavía no tenemos números.

Pero desde muy pronto las fichas debieron ser transportadas en algún tipo de envoltura, sean bolsas de cuero o similares. En algún momento, la forma de transporte se simplificó envolviendo estas fichas en esferas huecas de barro. Estas burbujas de arcilla pueden en muchas ocasiones presentar signos externos. Esto permite formular una hipótesis sencilla y atractiva sobre la funcionalidad de fichas y burbujas.

Por ejemplo, un agricultor y un ganadero desean hacer un trueque de productos. Uno entregará varios animales a cambio de un número de cestos de grano. Cuando llegan al acuerdo difieren el pago al objeto de que algunos de sus trabajadores acuda a las tierras del otro para recoger el objeto del intercambio. Pero, de algún modo, ha de sellarse el acuerdo. La forma de hacerlo será moldear las fichas que representen las cantidades que cada uno entregará y dárselas al otro envueltas en una burbuja de arcilla. De este modo, los trabajadores de cada uno se presentan en las tierras del otro con la burbuja recibida. Allí mismo se rompe y se encontrarán las fichas que representan aquello que debe entregarse al poseedor de la burbuja.

Conviene prestar atención a las marcas realizadas en el exterior de la burbuja y que se han mencionado anteriormente, pues se supone que representan sobre la burbuja las fichas que permanecen dentro de la burbuja, a modo de recordatorio de lo que contiene. Éste sería el vínculo entre las fichas y los signos exteriores. Así, con el tiempo, estos signos van haciendo inútiles las fichas del interior de la burbuja. Sin las fichas, las burbujas se fueron transformando dando paso a las tablillas donde la representación numérica será plana a finales del IV milenio a.n.e.

Las tablillas así inventadas servían para registrar cantidades diversas del mismo producto o de productos diferentes. Al corresponder, por ejemplo, a entradas distintas por el proveedor, o cualquier otra circunstancia, resulta adecuado registrar también el total de la cantidad registrada. Eso se hacía habitualmente en el reverso de la tablilla. Por ejemplo, una tablilla que registra, en su anverso, cinco jarras de cerveza compradas a Fulano y cuatro compradas a Sotano; en el reverso están las nueve jarras agrupadas. Este es un caso especialmente simple de suma por cuanto lo único que se hace en el reverso es presentar las nueve jarras agrupadas. De este modo, la suma consiste exclusivamente en repetir cada uno de los signos utilizados para contar. Pero desde el punto de vista aritmético, las cantidades a sumar pueden rebasar la simple enumeración de sus elementos, con lo que nos encontramos en una situación más compleja. Y esta es una de las razones de la aparición de los sistemas de numeración, pues es en este tipo de caso cuando se aplica el sistema de numeración vigente para reunir en un solo resultado la acción aritmética emprendida. Esto último solía depender del producto, de la misma manera que por tradición contamos los huevos por docenas y no por decenas y para el tiempo utilizamos el sistema sexagesimal (una hora son sesenta minutos, cada uno de los cuales son sesenta segundos).

Las transacciones y contabilidades comerciales se realizaban pesando los productos objeto de comercio (lana, cereal, estaño, etc.) y tasando su valor en la plata correspondiente, que actuaba a modo de moneda no acuñada. Actuaba en la triple función bajo la cual se constituye la moneda: como unidad de cuenta; como medio de intercambio, dado que podía incluirse como parte de la transacción comercial; y también como medio de pago, tal como se deduce de numerosos documentos de venta y préstamos. Los problemas algebraicos que generaban estas transacciones hicieron que los mesopotámicos fueran capaces de resolver sistemas de ecuaciones lineales de hasta tres incógnitas o ecuaciones de segundo grado.

Las primeras unidades de medida parecen haber sido las referidas al peso, como es de suponer dado lo dicho antes. Sin embargo, durante el tercer milenio a.n.e. se fueron constituyendo unidades cada vez más estandarizadas tanto de longitud, como de superficie o volumen. Ello fue impulsado por el nacimiento de las ciudades - estado y el crecimiento de las relaciones comerciales entre ellas, así como entre el pueblo y la ciudad, hechos que impulsaban el establecimiento de acuerdos para realizar medidas comunes de los productos intercambiados.

Las unidades de medida de superficie eran cuadrados y rectángulos (más secundariamente, los triángulos) de determinadas longitudes en sus lados. Es fácil darse cuenta de que "enlosar" mediante estas unidades requería multiplicar, es decir, sumar reiteradamente. Es por ello que las escuelas de escribas debían dedicar un cierto tiempo a la práctica de la operación de multiplicar dos longitudes a lo que hay que unir la práctica subsiguiente en la transformación de las unidades resultantes de esta operación en sus múltiplos. El objetivo básico en este aspecto consistía en expresar el resultado de la medida con la menor cantidad de unidades posible, al objeto de que operaciones posteriores ofreciesen menos dificultad.

En el caso de un triángulo rectángulo de cateto una unidad, el área puede obtenerse sin más que multiplicar la mitad de la base por la altura, es decir, que el área de un triángulo de estas características se toma como la mitad del cuadrado de la misma base y altura que el triángulo, una relación que puede extenderse a cualquier otro triángulo, en particular uno equilátero (que, sin embargo, presenta el inconveniente de que la altura no es un valor inmediato, pero que también se puede calcular mediante raíces cuadradas, aunque el algoritmo utilizado por los mesopotámicos era un tanto inexacto).

Los mesopotámicos conocían lo que luego se ha llamado el teorema de Pitágoras en el sentido de que usaban longitudes de cuerda de 3, 4 y 5 unidades de largo para formar un gran ángulo recto para la construcción y para la medición de terrenos.

La medición de campos irregulares se hacía troceando el campo en cuadrados, rectángulos y triángulos. Por otra parte, se pueden utilizar estas figuras simples para aproximarse a superficies curvilíneas. De una forma parecida se actuaba con las unidades de volumen necesarias para calcular las medidas y trabajos de canales y edificios.

Todo lo dicho anteriormente ha intentado transmitir la mejor hipótesis sobre cómo se obtuvieron los primeros conceptos y verdades matemáticos que sin duda son los propios de la geometría y la aritmética. Pero también hace plausible que los conceptos matemáticos proceden, en cierta medida, de cómo es el mundo físico, del mundo que captamos mediante nuestro sentidos.

Para John Stuart Mill (1806-1873) los conceptos matemáticos proceden del mundo físico y las verdades de la matemática son verdades sobre el mundo físico, aunque de un carácter más general. Las verdades matemáticas serían las verdades más generales de todas (Dummett 1998, pp. 125-126).

Una posición que puede ser fácilmente confundida con la de Mill es la de David Hume (1711-1776) Para Hume, los conceptos matemáticos tienen su origen remoto en la sensación que luego es transformada por la actividad de la mente pero las verdades matemáticas son verdades sobre las relaciones entre las ideas, no sobre lo percibido.

En su Tratado de la Naturaleza Humana (Hume 1739, Libro I, Parte II), Hume mantiene que nuestros sentidos dan lugar a las impresiones que son copiadas por nuestras ideas, las cuales son reorganizadas por nuestra actividad mental dando lugar a ideas complejas. Un tipo de idea compleja son las relaciones y dentro de ellas Hume destaca aquellas que dependen enteramente de la comparación de ideas: la semejanza, los grados de cualidad y las proporciones de cantidad. De estas tratan las matemáticas que, para Hume, son básicamente la geometría y la aritmética.

Sin embargo, dicha reorganización que da lugar a las ideas complejas hace que éstas no sean una fiel reproducción de las impresiones recibidas. Hume introduce cierta creatividad de la mente mediante la imaginación a la hora de producir las ideas complejas de las matemáticas, las figuras y los números. Ambos se originan a partir de lo inexacto de la percepción sensible (Tratado SB 45 y ss.) mediante el mismo proceso que conduce a que creamos en la existencia continua de los cuerpos (Tratado SB 198). Para Hume, por tanto, las ideas matemáticas son producto, hasta cierto punto, de nuestra actividad mental. Por otra parte, Hume insiste en que la verdades matemáticas lo son sobre las relaciones entre las propias ideas y no sobre las relaciones de lo representado por las ideas.

Sin embargo, ya Renato Descartes (1596-1650) había interpretado de otro modo el conocimiento matemático, señalando en la "Sexta meditación" de sus Meditaciones metafísicas que "cuando imagino un triángulo, aun no existiendo acaso una tal figura en ningún lugar, fuera de mi pensamiento, y aun cuando jamás la haya habido, no deja por ello de haber cierta naturaleza, o forma, o esencia de esa figura, la cual es inmutable y eterna, no ha sido inventada por mí y no depende en modo alguno de mi espíritu; y ello es patente porque pueden demostrarse diversas propiedades de dicho triángulo" E insiste en que "Y nada valdría objetar en este punto que acaso dicha idea del triángulo haya entrado en mi espíritu por mediación de los sentidos, a causa de haber visto yo alguna vez cuerpo de figura triangular; puesto que yo puedo formar en mi espíritu infinidad de otras figuras, de las que no quepa sospechar ni lo más mínimo que hayan sido objeto de mis sentidos, y no por ello dejo de poder demostar ciertas propiedades que atañen a su naturaleza".

Descartes apunta a dos características que hacen que el saber matemático sea peculiar. En primer lugar, que no puede ser producto de la actividad de mi mente, pero tampoco, en segundo lugar, producto del mundo físico percibido. La razón es, para lo primero, el carácter demostrativo de las matemáticas. Para lo segundo, la creatividad matemática que supera lo que el mundo de los sentidos me puede ofrecer.