Paradoja de Banach-Tarski

La paradoja de Banach-Tarski es en realidad un teorema que afirma que es posible dividir una esfera (llena) de radio 1 en ocho partes disjuntas dos a dos, de modo que, aplicando movimientos oportunos a cinco de ellas, obtengamos nuevos conjuntos que constituyan una partición de una esfera (llena) de radio 1, y lo mismo ocurra con las tres partes restantes.

En palabras más sencillas, se supone que es posible fabricar un rompecabezas tridimensional de un total de ocho piezas, las cuales, combinadas de una determinada manera, formarían una esfera completa y rellena (sin agujeros) y, combinadas de otra manera, formarían dos esferas rellenas (sin agujeros) del mismo radio que la primera.

El teorema de Banach–Tarski recibe el nombre de paradoja por contradecir nuestra intuición geométrica básica. Las operaciones básicas que se realizan preservan el volumen siempre que los fragmentos sean medibles, pero precisamente las ocho partes citadas en el teorema son conjuntos no medibles. La construcción de estos conjuntos hace uso del axioma de elección para realizar una cantidad no numerable de elecciones arbitrarias.