Teorema de los cuatro cuadrados

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange , también conocido como la conjetura de Bachet se demostró en 1770 por Joseph Louis Lagrange.

Dice que cada número entero positivo puede expresarse como la suma de cuatro cuadrados de enteros. Por ejemplo,

31 = 5 2 + 2 2 + 1 2 + 1 2

310 = 17 2 + 4 2 + 2 2 + 1 2

Más formalmente, para cada entero positivo n existen números enteros no negativos a,b,c,d tales que

n = a 2 + b 2 + c 2 + d 2

Adrien-Marie Legendre mejoró el teorema en 1798 demostrando que un entero positivo puede expresarse como la suma de tres cuadrados si y sólo si no es de la forma 4 k (8 m + 7). Su prueba estaba incompleta, dejando un hueco que después llenó Carl Friedrich Gauss.

En 1834, Carl Gustav Jakob Jacobi encontró la fórmula exacta para el número total de maneras en que un número entero positivo n dado puede representarse como la suma de cuatro cuadrados. Este número es ocho veces la suma de los divisores de n si n es impar y 24 veces la suma de los divisores impares de n si n es par.

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange es un caso especial del teorema del número poligonal de Fermat y del problema de Waring.