La conjetura de Rāmānujan

Aunque existen numerosas expresiones que reciben el nombre de "conjetura de Ramanujan", existe una particularmente influyente sobre los trabajos sucesivos. Esta conjetura de Ramanujan es una aserción referente a las dimensiones de los coeficientes de la función Tau, una típica forma cúspide en la teoría de las formas modulares. Y ha sido finalmente demostrada posteriormente como consecuencia de la demostración de la conjetura de Weil mediante un complicado procedimiento.

Fórmulas

Entre muchas otras, Rāmānujan ha aportado la siguiente fórmula:

Se trata de una especie de obra de arte matemática donde se conecta una serie matemática infinita y una fracción continua para aportar así una relación entre dos célebres constantes de matemáticas.

Una segunda fórmula, demostrada en 1985 por Jonathan y Peter Borwein, es la que descubrió el en 1910 :

Es muy eficaz porque ella aporta 8 decimales a cada iteración.

Número de Rāmānujan

Se denomina número de Hardy-Ramanujan a todo entero natural que se puede expresar como la suma de dos cubos de dos maneras diferentes. Hardy comenta la siguiente anécdota :

Recuerdo que fuí a verle una vez, cuando él ya estaba muy enfermo, en Putney. Había tomado yo un taxi que llevaba el número 1729 y señalé que tal número me parecía poco interesante, y yo esperaba que él no hiciera sino un signo desdeñoso.
- "No", me respondió, este es un número muy interesante; es el número más pequeño que podemos descomponer de dos maneras diferentes con suma de dos cubos.
G.H. Hardy

En efecto, 9³ + 10³ = 1³ + 12³ = 1729.

- Otros números que poseen esta propiedad habían sido descubiertos por el matemático francés Bernard Frénicle de Bessy (1602-1675) :

• 2³ + 16³ = 9³ + 15³ = 4104
• 10³ + 27³ = 19³ + 24³ = 20683
• 2³ + 34³ = 15³ + 33³ = 39312
• 9³ + 34³ = 16³ + 33³ = 40033

- El más pequeño de los números descomponibles de dos maneras diferentes en suma de dos potencias a la cuarta es 635 318 657, y ha sido Euler (1707-1763) quien le descubrió :

• 158⁴ + 59⁴ = 133⁴ + 134⁴ = 635318657

Se denomina nésimo número Taxicab, denotado como Ta(n) o Taxicab(n), al más pequeño número que puede ser expresado como una suma de dos cubos positivos no nulos n de dos maneras distintas al orden de los operandos. Tal que, Ta(1) = 2 = 1³ + 1³, Ta(2) = 1729 y Ta(3) = 87539319. Variante del taxicab es el cabtaxi (un número cabtaxi es definido como el más pequeño número entero que se pueda escribir de n maneras diferentes (en el orden de los términos aproximados) como suma de dos cubos positivos, nulos o negativos).