Serie de Grandi

La serie infinita 1 − 1 + 1 − 1 + · · · es a veces llamada serie de Grandi, en honor al matemático, filósofo y sacerdote italiano Guido Grandi, quién en 1703 realizó trabajos destacados sobre esta serie. Es una serie divergente, lo que implica que no posee suma en el sentido usual de la misma. Por otra parte, su suma de Cesàro es ¹⁄₂.

Heurística

Un método obvio con el que se puede atacar la serie

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·

es tratarla como una serie telescópica y realizar las restas que resultan:

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + · · · = 0 + 0 + 0 + · · · = 0.

Por otra parte, un procedimiento de agrupamiento similar conduce a un resultado aparentemente contradictorio

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · = 1 + 0 + 0 + 0 + · · · = 1.

Según la forma en que se ubiquen paréntesis sobre la serie de Grandi, es posible obtener un "valor" 0 o 1. Utilizando álgebra se puede obtener un tercer valor. Escribiendo

S = 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·,

entonces

1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + · · ·) = S, por lo tanto S = ¹⁄₂.

Se llega a la misma conclusión si se calcula −S, restando el resultado de S, y resolviendo 2S = 1.

Las manipulaciones indicadas previamente no indican cual es el significado que tiene la suma de la serie. Aún así, considerando que no debería importar la forma en que se ubican los paréntesis en una serie, y que es muy importante poder realizar aritmética con ellas, es que se extraen dos conclusiones:

• La serie 1 − 1 + 1 − 1 + · · · no tiene suma.
• ...pero su suma debe ser ¹⁄₂.

En efecto, se puede enunciar y demostrar formalmente estas dos aseveraciones utilizando conceptos matemáticos que fueron desarrollados en el siglo XIX. Luego de la introducción del cálculo en Europa hacia finales del siglo XVII, pero antes del advenimiento del rigor moderno, la tensión entre estas dos aseveraciones alimentó una "violenta" e "interminable" disputa entre los matemáticos.