La teoría de Galois es una colección de resultados que conectan la teoría de cuerpos con la teoría de grupos. La teoría de Galois tiene aplicación a diversos problemas de la teoría de cuerpos, que gracias a dicha teoría, pueden ser reducidos a problemas más sencillos de la teoría de grupos. La teoría de Galois debe su nombre al matemático francés Évariste Galois (1811-1832), muerto a la edad de 20 años.
Aplicaciones de la teoría de Galois
El nacimiento de la teoría de Galois estuvo motivada por el intento de responder a la siguiente cuestión:
¿Por qué no existe una fórmula para la resolución de ecuaciones polinómicas de quinto grado (o superior) en términos de los coeficientes del polinomio, usando operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división) y la extracción de raíces (raíces cuadradas, cúbicas, etc); tal como existe para las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado?
El teorema de Abel-Ruffini que es parte de la teoría de Galois da una respuesta a esta pregunta. La teoría de Galois proporciona no sólo una elegante respuesta a esta cuestión, sino que también explica en detalle por qué es posible resolver ecuaciones de grado inferior al cuarto, y por qué las soluciones son expresables mediante operaciones algebraicas y extracción de raíces.
Además la teoría de Galois proporciona respuestas a problemas clásicos de la constructibilidad mediante regla y compás. De hecho, la teoría de Galois establece cuándo es posible construir una cierta longitud proporcional a una dada, y gracias a eso pueden responderse a las siguientes preguntas:
¿Qué polígonos regulares son construibles mediante regla y compás?
¿Por qué no es posible la trisección de un ángulo?
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